Analysis

538 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
6.4.10. Das Bild zu II.5.1.14 zeigt eine Folge stetiger Funktionen, die punktweise
gegen die Nullfunktion konvergieren, ohne daß ihre Integrale deshalb
gegen Null streben. Die Annahme der Monotonie unserer Folge ist also wesentlich.
Beweis. Die Meßbarkeit von f folgt aus 6.3.19. Die Abschätzung ≥ ist evident.
Es gilt, ≤ zu zeigen. Dafür reicht es, wenn wir für jede Stufenfunktion
s mit s ≤ f und jedes η ∈ (0, 1) die Abschätzung
η s ≤ lim
n→∞
fn
zeigen. Nun haben wir ja s = r i=0 ci[Ai] für geeignete paarweise disjunkte
meßbare Ai und ci ∈ (0, ∞). Setzen wir An i = {x ∈ Ai | fn(x) ≥ ηci}, so sind
auch die An i meßbar und es gilt A0 i ⊂ A1 i ⊂ A2 i ⊂ . . . sowie An i = Ai, nach
6.1.26 also
lim
n→∞ µ(Ani ) = µ(Ai)
Betrachten wir die Stufenfunktionen sn =
i ηci[An i ], so gilt mithin
lim
n→∞
sn = η s
Andererseits haben wir aber nach Konstruktion sn ≤ fn und folglich sn
≤
fn. Bilden wir nun auf beiden Seiten den Grenzwert für n → ∞, so ergibt
sich damit η
s ≤ limn→∞ fn wie gewünscht.
Satz 6.4.11 (Eigenschaften des Integrals nichtnegativer Funktionen).
Gegeben f, g nichtnegative meßbare Funktionen mit Werten in [0, ∞]
auf einem Maßraum gilt
1. f ≤ g ⇒ f ≤ g;
2. cf = c f ∀c ∈ (0, ∞);
3. f + g = f + g.
Beweis. Nur der dritte Punkt braucht einen Beweis. Sind f und g reelle
Stufenfunktionen, so haben wir die Behauptung schon in 6.4.5 gezeigt. Um
den allgemeinen Fall daraus abzuleiten, brauchen wir ein Lemma.
Lemma 6.4.12. Sei (X, M) ein Meßraum und f : X → [0, ∞] eine meßbare
Funktion. So gibt es eine monotone Folge von meßbaren Stufenfunktionen
0 ≤ ϕ0 ≤ ϕ1 ≤ . . . mit Werten in [0, ∞), die punktweise gegen f konvergiert.