Analysis

Kapitel III
Analysis mit komplexen Zahlen
In diesem Kapitel diskutieren wir die komplexe Exponentialfunktion und
ihre Bedeutung für die Analysis reeller Funktionen einer reellen
Veränderlichen. In den meisten Texten zur Analysis werden die komplexen
Zahlen bereits sehr viel früher einbezogen. Da die Diskussion der komplexen
Exponentialfunktion jedoch meines Erachtens die trigonometrischen
Funktionen benötigt und ich diese hinwiederum durch den Begriff der
Bogenlänge motivieren wollte, ging es in diesem Text nicht eher. Vom rein
logischen Aufbau der Vorlesung aus gesehen könnte die Diskussion der
komplexen Exponentialfunktion auch noch etwas warten: Im weiteren
Verlauf der in dieser Vorlesung vorgesehenen Entwicklung wird zunächst
der Abschnitt über die Integration vektorwertiger Funktionen relevant
werden, und zwar bei der Diskussion gewöhnlicher Differentialgleichungen
in IV.5. Auch dort wäre es aber natürlich wünschenswert, daß die
Studenten die Theorie der Schwingungsgleichungen bereits kennen. Die
Grundlagen zu Fourierreihen werden erst in Kapitel V wieder relevant. All
diese Inhalte scheinen mir jedoch derart wichtig, daß ich es für sinnvoll
halte, sie bereits früh zu diskutieren.
Inhalt
1 Komplexe Exponentialfunktion . . . . . . . . . . 303
1.1 Definition und erste Eigenschaften . . . . . . . . . 303
1.2 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . 311
1.3 Integration von vektorwertigen Funktionen . . . . 312
1.4 Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . 316
1.5 Komplexe Differenzierbarkeit* . . . . . . . . . . . 319
2 Lösung einiger Schwingungsgleichungen . . . . . 325
2.1 Gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . 325
301