Analysis

1014 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Ergänzung 8.1.4. Im Abschnitt ?? wird jedem Paar g ⊃ h bestehend aus
einer komplexen halbeinfachen Lie-Algebra g mit einer Cartan’schen Unteralgebra
h eine Teilmenge R(g, h) ⊂ h ∗ zugeordnet und das “Wurzelsystem der
Liealgebra” genannt. Nach ??.?? und ?? ist diese Teilmenge in der Tat ein
Wurzelsystem im Sinne der vorhergehenden Definition 8.1.1. Wir studieren im
folgenden solche Wurzelsysteme zunächst einmal unabhängig von der Theorie
der Lie-Algebren. Es wird sich jedoch später herausstellen, daß die Wurzelsysteme
in komplexen Vektorräumen im Sinne der vorhergehenden Definition
genau die Wurzelsysteme zu komplexen halbeinfachen Lie-Algebren sind. Die
vier sogenannten “klassischen” Beispiele werden etwa in ??, ??, ?? und ??
beschrieben. Sehr viel ausführlichere Informationen und übersichtliche Tafeln
findet man bei Bourbaki [Bou81].
8.1.5. Ich habe mich in der vorhergehenden Definition an die Terminologie
von Bourbaki [Bou81] gehalten. In anderen Quellen fordert man von einem
Wurzelsystem schwächer als in 8.1.1 formuliert nicht s(β) − β ∈ Zα und
bezeichnet diejenigen Wurzelsysteme, die diese Bedingung doch erfüllen, als
kristallographisch. Oft bezeichnet man in der Literatur, insbesondere der
angelsächsischen, als Wurzelsysteme auch diejenigen Teilmengen von reellen
euklidischen Vektorräumen, die die ersten beiden Bedingungen aus 8.1.1 erfüllen
und die Eigenschaft haben, daß die orthogonale Spiegelung an der auf
einer Wurzel senkrechten Hyperebene stets unser System in sich selber überführt.
Man mag derartige Systeme, jedenfalls wenn sie zusätzlich im eben
erwähnten Sinn kristallographisch sind, euklidische Wurzelsysteme nennen.
Nach allen Quellen gibt es jedoch bis auf Isomorphismus nur ein Wurzelsystem
in einem eindimensionalen Raum, als da heißt, man bezahlt für
die Anschaulichkeit der Definition damit, daß der Begriff eines Isomorphismus
von Wurzelsystemen unnatürlich wird und es a priori nicht mehr klar
ist, wie sich die Operation der Weylgruppe und andere mithilfe der euklidischen
Struktur konstruierte Dinge unter Isomorphismen von Wurzelsystemen
verhalten.
Satz 8.1.6 (Kowurzeln und rationale Form). Sei V ein Vektorraum über
einem Körper der Charakteristik Null und R ⊂ V ein Wurzelsystem. So gilt:
1. Für jede Wurzel α ∈ R gibt es genau eine Spiegelung sα : V → V mit
sα(α) = −α und sα(R) = R. Die Linearform α ∨ ∈ V ∗ mit
sα(λ) = λ − 〈λ, α ∨ 〉α ∀λ ∈ V
heißt dann die Kowurzel oder duale Wurzel zu α.
2. Die Menge R ∨ = {α ∨ | α ∈ R} aller Kowurzeln ist ein Wurzelsystem
in V ∗ und für die kanonische Abbildung V → (V ∗ ) ∗ gilt α ↦→ (α ∨ ) ∨ .