Analysis

5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 485
löst für A : R n+1 → R n+1 gegeben durch A(t, x) := (1, B(t, x)). In diesem
Sinne können wir uns also stets auf den Fall zeitunabhängiger Felder
zurückziehen. Allerdings erhält man für zeitabhängige Felder bei einer eigenständigen
Betrachtung etwas schärfere Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen,
weshalb dieser Fall insbesondere in einigen Ergänzungen weiter vorkommen
wird. Zunächst konzentrieren wir uns nun jedoch auf den zeitunabhängigen
Fall und besprechen seine geometrische Bedeutung in einer koordinatenfreien
Sprache.
5.1.5. Unter einem Vektorfeld auf einer halboffenen Teilmenge U ⊂ X eines
normierten reellen Raums X verstehen wir wie in 3.1.2 eine Abbildung A von
U in den Richtungsraum X von X, in Formeln
A : U → X
p ↦→ Ap
Definition 5.1.6. Sei X ein normierter reeller Raum, U ⊂◦ X eine halboffene
Teilmenge und A : U → X ein Vektorfeld. Eine Integralkurve unseres Vektorfelds
ist eine differenzierbare Abbildung γ : I → U von einem halboffenen
reellen Intervall I ⊂ R nach U mit der Eigenschaft, daß “zu jedem Zeitpunkt
t ∈ I die Geschwindigkeit unserer Integralkurve zum Zeitpunkt t genau der
durch das Vektorfeld vorgegebene Vektor an der Stelle γ(t) ist”, in Formeln
γ ′ (t) = A(γ(t)) ∀t ∈ I
Eine maximale Integralkurve ist eine Integralkurve, die nicht zu einer
auf einem echt größeren reellen Intervall definierten Integralkurve erweitert
werden kann. Ist p ∈ U gegeben, so verstehen wir unter einer Integralkurve
mit Anfangswert p oder kurz einer Integralkurve zu p eine Integralkurve
(γ, I) mit 0 ∈ I und γ(0) = p.
5.1.7. Unsere Terminologie ist hier nicht vollständig konsistent, da mit dieser
Definition eine Integralkurve keine Kurve im Sinne unserer Definition
4.3.9 ist, sondern vielmehr, zumindest im Fall eines offenen Definitionsintervalls
und unter geeigneten Injektivitätsvoraussetzungen, eine Karte einer
Kurve. Die Integralkurven eines Vektorfelds bilden im Übrigen eine “durch
Einschränkung” partiell geordnete Menge, und unsere maximalen Integralkurven
sind darin gerade die maximalen Elemente.
Beispiel 5.1.8. Ist unser Vektorfeld konstant, so laufen seine Integralkurven
auf den Geraden mit diesem konstanten Vektor als Richtungsvektor und mit
der durch diesen Vektor vorgegebenen konstanten Geschwindigkeit. Ist unser
Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum X = V definiert
durch eine lineare Abbildung, sagen wir durch die lineare Abbildung