Analysis

794 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
2 Endlichdimensionale Darstellungen
2.1 Darstellungen und ihre Ableitungen
2.1.1. In diesem Abschnitt mag der Leser unter einer Liegruppe je nach
Kenntnisstand eine Matrix-Liegruppe oder auch eine abstrakte Liegruppe
verstehen. Unter einer reellen bzw. komplexen endlichdimensionale Darstellung
einer Liegruppe G verstehen wir stets eine stetige Darstellung im
Sinne von 1.1, also ein Paar (V, ρ) bestehend aus einem endlichdimensionalen
reellen bzw. komplexen Vektorraum V mit einem stetigen Gruppenhomomorphismus
ρ : G → GL(V ). Statt ρ(g)(v) schreiben wir auch oft abkürzend gv.
Wollen wir die bei Liegruppen meist implizit zugrundegelegte Annahme der
Stetigkeit besonders betonen, so reden wir auch von stetigen endlichdimensionalen
Darstellungen.
Beispiel 2.1.2. Der R 3 ist in offensichtlicher Weise eine Darstellung der Liegruppe
SO(3). Dasselbe gilt für die Räume R[X, Y, Z] m aller Polynomfumktionen
auf R 3 , die homogen sind vom Grad m, für die Operation gegeben durch
das “Verschieben von Funktionen”, in Formeln (gf)(p) = f(g −1 p) für alle
g ∈ SO(3), p ∈ R 3 und f ∈ R[X, Y, Z].
Definition 2.1.3. Sei k ein Körper. Eine Darstellung einer Liealgebra g
über k ist ein Paar (V, ρ) bestehend aus einem k-Vektorraum V und einem
Homomorphismus von Liealgebren ρ : g → gl(V ).
Beispiel 2.1.4. Ist G eine Liegruppe und ρ : G → GL(V ) eine stetige Darstellung
durch Automorphismen eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums,
so wird V nach 1.6.8 eine Darstellung der Liealgebra Lie G vermittels
des Differentials beim neutralen Element, das wir oft abkürzen zu
dρ = deρ : Lie G → gl(V )
Diese Darstellung der Liealgebra Lie G heißt die abgeleitete Darstellung
zur Darstellung unserer Liegruppe G.
Beispiel 2.1.5. Die Darstellung ρn : S 1 → C × , z ↦→ z n der Kreislinie hat das
Differential deρn : λ ↦→ nλ für λ ∈ T1S 1 = iR ⊂ C = T1C × .
Übung 2.1.6. Sei g eine Liealgebra. Für x ∈ g erkläre man (ad x) : g → g
durch die Vorschrift (ad x) : y ↦→ [x, y]. Man zeige, daß ad : g → gl(g) ein Homomorphismus
von Liealgebren ist. Er heißt die adjungierte Darstellung
unserer Liealgebra.
Definition 2.1.7. Sei k ein Körper. Eine Operation einer Liealgebra g
über k auf einem k-Vektorraum V ist eine bilineare Abbildung g × V → V ,