Analysis

2. MEHRFACHE INTEGRALE UND ABLEITUNGEN 375
Beispiel 2.1.12. Die Funktion f(x, y) = xy(x 2 − y 2 )/(x 2 + y 2 ) kann durch
f(0, 0) = 0 stetig auf ganz R 2 fortgesetzt werden und ist überall zweimal
partiell differenzierbar, aber ihre beiden gemischten partiellen Ableitungen
stimmen im Ursprung nicht überein. Das zeigt, daß unsere Forderung der
Stetigkeit an eine gemischte partielle Ableitung im vorhergehenden Korollar
2.1.10 auch notwendig ist.
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei U ein offenes Rechteck.
Wir verwenden für die partiellen Ableitungen nach der ersten bzw. zweiten
Variablen die Abkürzungen fx und fy und schreiben fxy = (fx)y für die
gemischte partielle Ableitung “erst nach x, dann nach y”. Gegeben (a, c) ∈ U
beliebig aber fest finden wir
x
a
y
c fxy(s, t) dt ds = x
a fx(s, y) − fx(s, c) ds
= f(x, y) − f(x, c) − f(a, y) + f(a, c)
Ich bin nicht glücklich, daß die Symbole x und y hier sowohl als Integrationsgrenzen
als auch als Anzeiger für zu bildende partielle Ableitungen vorkommen,
aber ich fürchte, eine alternative Notation wie etwa f1, f2, f12, f21
statt fx, fy, fxy, fyx wäre wieder in anderer Weise verwirrend. Jetzt vertauschen
wir vorne die Integrationsreihenfolge, bringen hinten die drei letzten
Summanden auf die andere Seite und erhalten
y x
fxy(s, t) ds dt + f(x, c) + f(a, y) − f(a, c) = f(x, y)
c
a
Die linke Seite ist hier ganz offensichtlich partiell differenzierbar erst nach y
und dann nach x und ihre gemischte partielle Ableitung ergibt sich zu fxy
wie gewünscht.
Korollar 2.1.13 (Differenzieren unter dem Integral). Sei [a, b] ⊂ R ein
kompaktes Intervall, I ⊂ R halboffen und f : [a, b] × I → R, (x, y) ↦→ f(x, y)
stetig mit stetiger partieller Ableitung nach der zweiten Variablen. So ist die
Funktion y ↦→ b
f(x, y) dx differenzierbar und man darf die Integration über
a
die erste Variable mit der partiellen Ableitung nach der zweiten Variablen
vertauschen, in Formeln
d
dy
b
a
b
f(x, y) dx =
a
∂f
(x, y) dx
∂y
2.1.14. Einen allgemeineren Satz zum Differenzieren unter dem Integral werden
Sie im Rahmen der Lebesgue’schen Integrationstheorie in Übung 6.5.14
herleiten.