Analysis

12. UNITÄRE DARSTELLUNGEN 1113
mit dem Matrizenring M(r × r; C) identifizieren können, dessen Operation
als eine Art “Matrixmultiplikation” aufgefaßt werden kann, wenn wir unsere
r-Tupel als Spalten schreiben, was wir von nun an durch einen hochgestellten
“Transponierindex” ⊤ andeuten werden. Da jedoch auch das Tupel
(v1, . . . , vr) ⊤ selbst zu unserem Teilraum gehört, haben wir notwendig
P (v1, . . . , vr) ⊤ = (v1, . . . , vr) ⊤ . Setzen wir nun P als Matrix an und beachten
die lineare Unabhängigkeit der vi, so folgt P = id in Modto G (H r ).
Korollar 12.1.6. Sei G eine lokal kompakte separable topologische Gruppe
und K ⊂ G eine kompakte Untergruppe. Sei H eine irreduzible unitäre Darstellung
von G. Gegeben λ ∈ ˆ K und v1, . . . , vr ∈ eλH linear unabhängig und
v ′ 1, . . . , v ′ r ∈ eλH beliebig und ε > 0 gibt es ein Maß µ ∈ eλ Mc(G)eλ mit
µvi − v ′ i < ε für 1 ≤ i ≤ r
Beweis. Zunächst finden wir ˜µ ∈ CG wie im Dichtesatz 12.1.5, dann nehmen
wir µ = eλ˜µeλ.
Lemma 12.1.7. Ein kompakt getragenes Maß auf G = SL(2; R), das auf jeder
stetigen einfachen endlichdimensionalen Darstellung durch Null operiert,
ist bereits selbst Null.
Beweis. Es reicht, den Fall reeller Maße zu betrachten. Sei also µ ∈ M!(G; R)
gegeben. Aus unseren Annahmen folgt mithilfe von ??, daß für jede Funktion
f : G → R, die sich als Polynom in den Matrixkoeffizienten darstellen läßt,
bereits gilt µf = 0 und damit
(µf)(e) = f(g −1 )µ〈g〉 = 0
Da aber unser Maß kompakten Träger hat und sich auf einem Kompaktum
nach Stone-Weierstraß jede stetige Funktion beliebig gut durch polynomiale
Funktionen approximieren läßt, folgt für alle stetigen Funktionen f : G → R
sofort µf = 0 und insbesondere f(g −1 )µ〈g〉 = 0.
Lemma 12.1.8. Für die Gruppen G = SL(2; R) ⊃ K = SO(2) gilt: Gegeben
λ ∈ ˆ K eine irreduzible endlichdimensionale Darstellung und eλ ∈ M(K) der
zugehörige Projektor besteht der Teilraum eλ M!(G)eλ ⊂ M(G) aus paarweise
kommutierenden Maßen.
Beweis. Gegeben µ, ν ∈ eλ M!(G)eλ gilt es zu zeigen µν − νµ = 0. Nach
12.1.7 reicht es zu zeigen, daß µν − νµ auf jeder stetigen einfachen endlichdimensionalen
Darstellung E von G durch Null operiert. Das ist jedoch klar, da
für diese Darstellungen die K-isotypischen Komponenten eλE eindimensional
sind.