Analysis

4. SCHROTTHALDE ZUR ANALYSIS 1287
4.4 Landau-Symbole
Bemerkung 4.4.1. Gegeben ein metrischer Raum X, ein Punkt p ∈ X, und
eine Abbildung in einen normierten Vektorraum f; X → V und eine reellwertige
Abbildung g : X → R sagt man, f sei “ein großes O von g für x → p”
und schreibt
f = O(g) für x → p
falls es eine Umgebung U von p und eine Konstante C gibt mit
f(x) ≤ C · |g(x)| für alle x ∈ U.
Weiter sagt man, h sei ein “kleines o von g für x → p” und schreibt
f = o(g) für x → p
falls es eine Umbebung U von p und eine Abbildung η : U → R gibt mit η
stetig bei p, η(p) = 0 und
f(x) = η(x) · |g(x)| ∀x ∈ U
Diese Symbole O und o heißen die Landau-Symbole.
4.5 Ergänzungen für nicht σ-endliche Maße
Bemerkung 4.5.1. Nach V.1.4.10 und V.1.7.13 ist ein beliebiger Hilbertraum
isomorph zu einem L 2 -Raum über einer Menge mit Zählmaß, die jedoch nicht
abzählbar zu sein braucht. Es scheint mir deshalb sinnvoll, den im vorhergehenden
entwickelten Formalismus soweit möglich auf nicht notwendig σendliche
Maßräume auszudehnen. In der Literatur geht etwa Halmos [Hal70]
in diesem Zusammenhang so vor, daß er den Begriff eines Maßraums abändert
und schwächer fordert, daß die meßbaren Mengen eines Maßraums nur
einen “σ-Ring” zu bilden brauchen. Mir scheint es jedoch insbesondere für die
Diskussion meßbarer Abbildungen praktischer, konsequent mit σ-Algebren zu
arbeiten und bei der weiteren Entwicklung der Theorie schlicht den Mengen,
die nicht zum “σ-Ring der in natürlicher Weise meßbaren Mengen” gehören,
das Maß Unendlich zuzuweisen. Wir verfahren nach diesem Prinzip etwa bei
der Diskussion des Satzes von Hahn oder der Diskussion von Produktmaßen.
Satz 4.5.2 (von Hahn über Maßerweiterungen). Gegeben eine Menge
X, ein Mengenring A ⊂ P(X) und ein Prämaß µ : A → [0, ∞] existiert genau
eine Erweiterung von µ zu einem Maß auf der von A erzeugten σ-Algebra
M(A), die allen den Mengen von M(A) das Maß Unendlich zuordnet, die
nicht in einer abzählbaren Vereinigung von Mengen endlichen Maßes aus A
enthalten sind.