Analysis

1. KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION 321
Satz 1.5.12 (Kettenregel). Seien U, V ⊂ C Teilmengen und f : U → C
und g : V → C Funktionen und es gelte f(U) ⊂ V . Sei f komplex differenzierbar
bei p und g komplex differenzierbar bei f(p). So ist g ◦ f : U → C
komplex differenzierbar bei p mit Ableitung
(g ◦ f) ′ (p) = g ′ (f(p)) · f ′ (p)
Beweis. Identisch zum Beweis im Reellen nach II.4.2.5. Man beachte, daß
nun rechts ein Produkt komplexer Zahlen steht.
Beispiel 1.5.13. Wir berechnen für λ, µ ∈ C und m ≥ 1 eine natürliche Zahl
die Ableitung der Funktion R → C gegeben durch f : t ↦→ (t 2 + λt + µ) m
und erhalten mit der Kettenregel f ′ (t) = (2t + λ)m(t 2 + λt + µ) m−1 . Schalten
wir noch eine differenzierbare Abbildung t : R → R, τ ↦→ t(τ) davor, so
ergibt sich die Ableitung der zusammengesetzten Funktion wieder mit der
Kettenregel zu
df
dτ
df dt
=
dt dτ = (2t(τ) + λ)m(t(τ)2 m−1 dt
+ λt(τ) + µ)
dτ
Proposition 1.5.14 (Quotientenregel). Sei U ⊂ C eine Teilmenge, f :
U → C eine Funktion ohne Nullstelle und p ∈ U ein Punkt.
1. Ist f komplex differenzierbar bei p, so ist auch z ↦→ 1/f(z) komplex
differenzierbar bei p und hat dort die Ableitung −f ′ (p)/f(p) 2 .
2. Ist zusätzlich g : U → C komplex differenzierbar bei p, so ist auch g/f
komplex differenzierbar bei p mit Ableitung
′
g
(p) =
f
g′ (p)f(p) − g(p)f ′ (p)
f(p) 2
Beweis. Teil 1 folgt sofort aus 1.5.5 mit der Kettenregel 1.5.12. Teil 2 folgt
aus Teil 1 mit der Produktregel 1.5.7.
Satz 1.5.15 (Ableitung von Umkehrfunktionen). Sei U ⊂◦ C offen und
sei f : U → C eine stetige Injektion mit offenem Bild und stetiger Umkehrung
f −1 : f(U) → U. Ist dann f komplex differenzierbar beim Punkt p ∈ U mit
Ableitung f ′ (p) = 0, so ist auch die Umkehrfunktion f −1 : f(U) → C komplex
differenzierbar bei q = f(p) mit Ableitung
(f −1 ) ′ (q) = 1/f ′ (f −1 (q))