Analysis

8. WURZELSYSTEME 1015
3. Genau dann bilden Wurzeln α1, . . . , αn ∈ R eine k-Basis von V , wenn
sie eine Q-Basis des von R in V aufgespannten Q-Vektorraums 〈R〉Q
bilden.
Beweis. Da V von R erzeugt wird, gilt sicher dimQ〈R〉Q ≥ dimk V . Jede
Spiegelung sα : V → V wie oben stabilisiert natürlich 〈R〉Q und liegt in der
endlichen Untergruppe G = {g ∈ GL〈R〉Q | g(R) ⊂ R}. Wählen wir mithilfe
von 7.1.5 ein G-invariantes Skalarprodukt ( , ) auf 〈R〉Q, so muß sα auf 〈R〉Q
die orthogonale Spiegelung an der zu α orthogonalen Hyperebene induzieren.
Damit ist sα eindeutig festgelegt auf 〈R〉Q und dann auch auf V = 〈R〉k. Das
zeigt die Eindeutigkeit von sα und liefert die Kowurzeln α ∨ ∈ V ∗ . Sicher
nimmt jede Kowurzel α ∨ auf 〈R〉Q nur rationale Werte an, d.h. ihre Restriktion
auf 〈R〉Q gehört zum Dualraum 〈R〉 ∗ Q des Q-Vektorraums 〈R〉Q. Un-
ter dem durch unser invariantes Skalarprodukt vermittelten Isomorphismus
〈R〉 ∗ Q
∼
→ 〈R〉Q haben wir nun α∨ |〈R〉Q ↦→ 2α/(α, α), folglich wird 〈R〉 ∗ Q er-
zeugt von den Restriktionen der Kowurzeln. Wählen wir eine Basis α1, . . . , αn
aus Restriktionen
von 〈R〉Q aus Wurzeln und eine Basis β∨ 1 , . . . , β∨ n von 〈R〉 ∗ Q
von Kowurzeln, so ist die Matrix der 〈αi, β∨ j 〉 invertierbar und damit sind
α1, . . . , αn bzw. β∨ 1 , . . . , β∨ n auch k-linear unabhängig in V bzw. V ∗ . Es folgt
die dritte Behauptung des Satzes. Es bleibt, die zweite Behauptung nachzuweisen.
Daß R∨ ein endliches Erzeugendensystem von V ∗ ist, folgt aus dem
Vorhergehenden; Daß gilt kα∨ ∩R∨ = {α∨ , −α∨ } desgleichen. Haben wir nun
irgendeinen Isomorphismus von Vektorräumen ϕ : V ∼ → U und ist R ⊂ V ein
Wurzelsystem, so ist natürlich auch ϕ(R) ⊂ U ein Wurzelsystem und gegeben
β ∈ R gilt ϕ(β) ∨ = (ϕ⊤ ) −1 (β∨ ) für ϕ⊤ : U ∗ → V ∗ die zu ϕ transponierte
Abbildung. Gegeben α ∈ R ist schließlich die transponierte Abbildung zur
Spiegelung sα = sα,α∨ : V → V die Spiegelung s⊤α = sα∨ ,α : V ∗ → V ∗ . Für
ϕ = sα erhalten wir insbesondere
(sαβ) ∨ = s ⊤ α (β ∨ ) = β ∨ − 〈α, β ∨ 〉α ∨
Wir sehen daraus, daß s ⊤ α die Bedingungen erfüllt, die von einer Spiegelung
zu α ∨ als Element des Wurzelsystems in spe R ∨ gefordert werden, und das
zeigt gleich auch noch α ↦→ (α ∨ ) ∨ .
Definition 8.1.7. Gegeben ein Wurzelsystem R ⊂ V heißt die von den
Spiegelungen zu den Wurzeln erzeugte Untergruppe W = W (R) ⊂ GL(V )
die Weylgruppe unseres Wurzelsystems.
8.1.8. Der Nullvektor ist der einzige Vektor von V , der von der Weylgruppe
festgehalten wird. In der Tat erzeugen die Kowurzeln den Dualraum, folglich
ist der Schnitt ihrer Kerne Null.